A STUDY OF MATTHAYOMSUKSA 3 STUDENTS' GEOMETRIC REASONING BASED ON THE CONCEPTS OF GUTIERREZ & JAIME

Abstract

This research aims to investigate the geometric reasoning of Grade 9 students with high, medium, and low academic achievement in mathematics, specifically focusing on the reasoning of triangles and quadrilaterals, based on Gutierrez and Jaime’s framework. A qualitative research methodology was employed, with data collected through transcribed audio recordings of interviews. The data were analyzed using protocol analysis according to Gutierrez and Jaime’s framework, which categorizes reasoning into 4 aspects: 1) recognition, 2) definitions, 3) classification, and 4) proof. The target group consisted of 9 Grade 9 students from the Demonstration School of Phranakhon Si Ayutthaya Rajabhat University (Secondary Section), divided into 3 groups: 3 high-achieving, 3 medium-achieving, and 3 low-achieving students. The research instruments included practical tasks, interview forms, and interview transcripts. The findings revealed the following: 1) Recognition: All 9 students (3 high, 3 medium, 3 low) demonstrated reasoning at Levels 1 and 2. At Level 1, students classified geometric shapes based on external characteristics. At Level 2, students classified shapes by considering definitions or geometric principles they had learned, such as the number of sides, angles, or whether the shape is closed. 2) Definitions: This aspect was divided into 2 sub-aspects: use of definitions and establishment of definitions. For the use of definitions, 2 students (low-achieving) exhibited Level 3 reasoning, proving with a single step by referring to theorems, definitions, or given conditions but lacking logical conclusions. 8 students (3 high, 3 medium, 2low) demonstrated Level 4 reasoning, proving with multiple steps by referring to theorems, definitions, or given conditions and reaching logical conclusions. 1 student (high-achieving) did not meet any level due to misinterpreting the problem. For the establishment of definitions, 8 students (3 high, 3 medium, 2 low) showed Level 2 reasoning, defining shapes based on definitions, theorems, line construction, and measurement. 3 students (2 high, 1 medium) exhibited Level 3 reasoning, defining shapes based on definitions, theorems, line construction, and measurement with single-step proofs. 7 students (3 high, 2 medium, 2 low) demonstrated Level 4 reasoning, proving with multiple steps by referring to theorems, definitions, or given conditions and reaching logical conclusions. 3) Classification: 1 student (low-achieving) showed Level 1 reasoning, classifying shapes based on external characteristics. 6 students (3 medium, 3 low) exhibited Level 2 reasoning, explaining similarities and differences of shapes by considering self-constructed diagonals and right angles using relevant theorems. 4 students (3 high, 1 medium) demonstrated Level 3 reasoning, explaining similarities and differences of shapes by considering self-constructed diagonals and right angles using relevant theorems, along with single-step proofs of geometric properties. 4) Proof: 4 students (2 medium, 2 low) showed Level 3 reasoning, proving with a single step by referring to theorems, definitions, or given conditions. Eight students (3 high, 3 medium, 2 low) demonstrated Level 4 reasoning, proving with multiple steps by referring to theorems, definitions, or given conditions and achieving the desired conclusions. 2 students (low-achieving) did not meet any level due to illogical proofs.การวิจัยครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาการให้เหตุผลทางเรขาคณิตตามแนวคิดของ Gutierrez และ Jaime เรื่อง รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ที่มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูง ปานกลาง และต่ำ ในวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม โดยใช้ระเบียบวิธีการวิจัยเชิงคุณภาพ การวิจัยครั้งนี้เก็บรวบรวมข้อมูลจากการถอดโปรโตคอลบันทึกเสียงการสัมภาษณ์ และทำการวิเคราะห์ข้อมูลด้วยการวิเคราะห์โปรโตคอลตามกรอบแนวคิดของ Gutierrez และ Jaime ซึ่งแบ่งเป็น 4 ด้าน ได้แก่ 1) ด้านการตระหนักรูปร่าง 2) ด้านบทนิยาม 3) ด้านการจัดหมวดหมู่ และ 4) ด้านการพิสูจน์ กลุ่มเป้าหมายที่ใช้ในการวิจัยเป็นนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฏพระนครศรีอยุธยา (ฝ่ายมัธยม) จำนวน 9 คน ซึ่งแบ่งเป็นนักเรียนที่มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูง 3 คน ปานกลาง 3 คน และต่ำ 3 คน เครื่องมือที่ใช้ในการวิจัย ได้แก่ งานปฏิบัติ แบบสัมภาษณ์ และแบบบันทึกการสัมภาษณ์ ผลการวิจัยพบว่า 1) ด้านการตระหนักรูปร่าง มีนักเรียน 9 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 3 คน ต่ำ 3 คน) แสดงการให้เหตุผลทั้งในระดับที่ 1 และ 2 กล่าวคือ ในระดับที่ 1 นักเรียนจำแนกประเภทรูปเรขาคณิตโดยการใช้องค์ประกอบจากลักษณะภายนอกของรูป และในระดับที่ 2 นักเรียนจำแนกประเภทรูปเรขาคณิตโดยพิจารณาจากบทนิยามหรือหลักการทางเรขาคณิตที่เคยเรียนมา เช่น การพิจารณาจำนวนด้าน จำนวนมุม หรือการเป็นรูปปิด เป็นต้น 2) ด้านบทนิยาม ในที่นี้แบ่งเป็น 2 ด้านย่อย ได้แก่ ด้านการใช้บทนิยาม และด้านกำหนดบทนิยาม โดยด้านการใช้บทนิยาม มีนักเรียน 2 คน (กลุ่มต่ำ) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 3 กล่าวคือ นักเรียนพิสูจน์แบบขั้นตอนเดียว โดยมีการอ้างอิงทฤษฎีบท บทนิยาม หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ แต่ขาดการสรุปผลที่สมเหตุสมผล และมีนักเรียน 8 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 3 คน ต่ำ 2 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 4 กล่าวคือ นักเรียนพิสูจน์แบบหลายขั้นตอน โดยมีการอ้างอิงทฤษฎีบท บทนิยาม หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ และสรุปผลที่สมเหตุสมผล และมีนักเรียน 1 คน (กลุ่มสูง) ที่ไม่อยู่ในระดับเลย เพราะว่าตีความโจทย์ผิด ส่วนด้านกำหนดบทนิยาม มีนักเรียน 8 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 3 คน ต่ำ 2 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 2 กล่าวคือ นักเรียนกำหนดบทนิยามของรูปโดยพิจารณาจากบทนิยาม ทฤษฎีบท การลากเส้น และการวัดความยาว มีนักเรียน 3 คน (กลุ่มสูง 2 คน ปานกลาง 1 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 3 กล่าวคือ นักเรียนกำหนดบทนิยามของรูปโดยพิจารณาจากบทนิยาม ทฤษฎีบท การลากเส้น และการวัดความยาว และมีการพิสูจน์แบบขั้นตอนเดียว และมีนักเรียน 7 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 2 คน ต่ำ 2 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 4 กล่าวคือ นักเรียนพิสูจน์แบบหลายขั้นตอน โดยมีการอ้างอิงทฤษฎีบท บทนิยาม หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ และสรุปผลอย่างสมเหตุสมผล 3) ด้านการจัดหมวดหมู่ มีนักเรียน 1 คน (กลุ่มต่ำ) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 1 กล่าวคือ นักเรียนจัดหมวดหมู่โดยพิจารณาจากลักษณะภายนอกของรูป มีนักเรียน 6 คน (กลุ่มปานกลาง 3 คน ต่ำ 3 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 2 กล่าวคือ นักเรียนอธิบายความเหมือนและความต่างของรูปโดยพิจารณาเส้นทแยงมุมที่ตนเองสร้างขึ้น จากนั้นพิจารณาความเป็นมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง และมีนักเรียน 4 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 1 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 3 กล่าวคือ นักเรียนอธิบายความเหมือนและความต่างของรูปโดยพิจารณาเส้นทแยงมุมที่ตนเองสร้างขึ้น และพิจารณาความเป็นมุมฉากโดยใช้ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง รวมทั้งแสดงการพิสูจน์เกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิตแบบขั้นตอนเดียว 4) ด้านการพิสูจน์ มีนักเรียน 4 คน (กลุ่มปานกลาง 2 คน ต่ำ 2 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 3 กล่าวคือ นักเรียนพิสูจน์แบบขั้นตอนเดียว โดยมีการอ้างอิงทฤษฎีบท บทนิยาม หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ มีนักเรียน 8 คน (กลุ่มสูง 3 คน ปานกลาง 3 คน ต่ำ 2 คน) แสดงการให้เหตุผลในระดับที่ 4 กล่าวคือ นักเรียนพิสูจน์แบบหลายขั้นตอน โดยมีการอ้างอิงทฤษฎีบท บทนิยาม หรือสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ และได้ผลสรุปตามที่ต้องการ และมีนักเรียน 2 คน (กลุ่มต่ำ) ที่ไม่อยู่ในระดับเลย เพราะว่าแสดงการพิสูจน์ไม่สมเหตุสมผล